Z czego to wynika

Układ odniesienia (Dane mapy, Map datum)

Długość i szerokość geograficzna (współrzędne geodezyjne) konkretnego punktu wbrew intuicji wyniesionej z geografii nie są pojęciami absolutnymi, ale zależą od geometrycznego modelu Ziemi jaki zostanie przyjęty. Modelem tym jest elipsoida - sfera kulista spłaszczona na biegunach, tak że równik i równoleżniki są kołami, a południki elipsami. Stosownie do postępu technik pomiarowych  rzeczywiste rozmiary Ziemi były mierzone coraz dokładniej i dobierano coraz lepszą elipsoidę. Parametrami określającymi jednoznacznie kształt elipsoidy są promień równika A i współczynnik spłaszczenia na biegunach F. Dla powszechnie dziś przyjętej i stosowanej w GPS elipsoidy WGS84:

• A = 6378137.0 m

• F = 1 / 298.257223563 = 0,00335....

W Polsce i w wielu krajach przyjęto elipsoidę GRS'80, która różni się od WGS84 tylko o 1mm promienia na biegunie.

Wcześniej proponowano i stosowano wiele elipsoid. Odnosimy je do elipsoidy WGS84 podając dwa parametry wprowadzane do odbiornika GPS (Główne Menu / Ustawienia / Jednostki / Dane Mapy / User) :

• DA = A_WGS84 - A

• DF = (F_WGS84 - F) * 10000      

Elipsoidy   

Polscy wydawcy map w ślad za cywilnymi (obecnie Główny Urząd Geodezji i Kartografii) i wojskowymi służbami geodezyjnymi i kartograficznymi stosowali trzy elipsoidy: Bessel'a z 1841 roku, Krasowkiego z 1940 roku  i współczesną GRS'80.

Elipsoidy WGS84 i GRS'80 są powiązane z rzeczywistymi punktami na Ziemi przy pomocy pomiarów satelitarnych, tak aby środek elipsoidy pokrywał się ze środkiem masy Ziemi, a oś biegunowa ze "średnią" osią obrotu naszej planety.

Zanim narodziły się takie metody i wystarczająco wzrosła dokładność pomiarów, poszczególne służby geodezyjne wybierały określony punkt na swoim terytorium, ustalały metodami astronomicznymi z maksymalną dokładnością jego współrzędne i kierunek południka, a następnie "przykładały" tam wybraną elipsoidę do powierzchni Ziemi, a raczej do geoidy - czyli powierzchni odzwierciedlającej poziom morza w tym punkcie. Na tej podstawie budowano osnowę geodezyjną kraju.

W takim przypadku układ współrzędnych geodezyjnych określa się więc poprzez wskazanie:

• elipsoidy oraz

• punktu (i azymutu) przyłożenia - np. elipsoida Bessel'a było używana w różnych krajach i każdy miał swój punkt przyłożenia, w Polsce do 1952 r - Borowa Góra,  obserwatorium koło Warszawy.

W rezultacie takiej operacji środek elipsoidy nie pokrywa się ze środkiem elipsoidy WGS84, a oś biegunowa nie koniecznie jest równoległa do osi obrotu Ziemi i osi WGS84. W celu opisania tych różnic trzeba zadać:

• kartezjańskie współrzędne geocentryczne  środka konkretnej elipsoidy DX, DY i DZ, czyli oddalenie jej środka - od środka WGS84: w kierunku równika na południku 0, w kierunku równika na południku E090 i w kierunku bieguna. Te trzy parametry wraz z DA i DF można wpisać do odbiornika GPS (Główne Menu / Ustawienia / Jednostki / Dane Mapy / User).  Nie należy ich mylić ze współrzędnymi prostokątnymi stosowanymi na mapach - to zupełnie co innego.

• kąt i kierunek odchylenia osi (obrotu układu współrzędnych kartezjańskich), a także zmianę skali (następne 4 parametry) czego turystyczny odbiornik GPS nie umożliwia, ale nie jest to przeszkodą istotną w zastosowaniach turystycznych.

Dodatkowy kłopot wynika ze sposobu obliczania tych parametrów. Projektodawcy dawnych układów współrzędnych nie pozostawili nam tych parametrów, bo wtedy nie było układu WGS84! Dobiera się je dziś - po wprowadzeniu nowego układu - tak, aby średni błąd po przeliczeniu współrzędnych  był najmniejszy - oczywiście dla wybranego zbioru punktów. Tak więc rezultat zależy od tego:

• iloma parametrami będziemy się posługiwać (współrzędne środka - przesuniecie układu czyli translacja, obrót układu czyli rotacja i zmiana skali - razem 7, czy tylko współrzędnymi środka i założeniem, że osie są jednak równoległe - do czego zmuszają nas możliwości odbiornika GPS) i

• jaki zbiór rzeczywistych punktów (z terenu którego kraju) przyjmiemy za podstawę obliczeń. Dlatego dla układu Pułkowo 1942 - przyłożenie elipsoidy Krasowskiego z 1940 r w punkcie Pułkowo, który jednolicie stosowały kraje byłego Układu Warszawskiego, dziś - zależnie od liczby parametrów oraz wybranego terenu (kraj)  - podawane są rozmaite (zbliżone, ale różniące się do kilkunastu metrów)  wielkości DX, DY i DZ.

W odbiorniku GPS  wprowadzonych jest wiele układów współrzędnych (Główne Menu / Ustawienia / Jednostki / Dane Mapy), ale nie ma tam wszystkich układów stosowanych na polskich mapach.

Wiele informacji o elipsoidach oraz układach współrzędnych jest w tabelach:

• http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/datum/dlist.html 

• http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/datum/edlist.html

• NIMA:(U)Geospatial Sciences Publications(Unclassified)

Jest tam kilka przykładów układów opartych na tej samej elipsoidzie Bessel'1841 (Czechy, Estonia, Poczdam), z których wynika, że różnice pomiędzy nimi są znaczne, a także kilka mutacji układu Pułkowo 1942 (S-42) w tym S-42 Poland.

Oficjalne dokumenty GUGiK określają zarówno metody jak i potrzebne współczynniki zamiany współrzędnych:

• Wytyczne techniczne G-1.10 (wydanie 2 z 2001 r) określają bardzo dokładny sposób przejścia  z układu  Pułkowo 1942 do GRS'80 i odwrotnie, poprzez układ kartezjański, geocentryczny i z uwzględnieniem obrotu układu.

• Instrukcja techniczna  G-2 (wydanie 5 z 2001 r) w par. 87, ust. 4 (str. 29) określa wzory do bezpośredniego przeliczania współrzędnych geograficznych z układu Pułkowo 1942 do GRS'80 i odwrotnie oraz podaje parametry DX, DY i DZ przy zerowych kątach obrotu osi współrzędnych. Właśnie te parametry - ze zmienionym znakiem - są wprowadzone do dalszych obliczeń i tablic.

Dobór parametrów dla stosowanego w Polsce na przedwojennych mapach WIG układu  Borowa Góra 1925 nie jest oficjalnie publikowany i wątpliwe czy w ogóle był obliczany w oparciu o dane archiwalne i współczesne, analogicznie jak układ Pułkowo 1942.  Omówienie dotychczasowych poszukiwań jest na stronie BG1925.

Współrzędne prostokątne - siatki kilometrowe

Najbardziej popularne i stosowane – także w Polsce - na mapach wojskowych, a na cywilnych po 1992 roku, odwzorowanie powierzchni ziemi na powierzchnie mapy - UTM, a ściślej złożenie kilku odwzorowań, z których ostatnie to odwzorowanie Gaussa - Krügera, charakteryzuje się tym, że wzdłuż wybranego południka przykłada się do powierzchni Ziemi (a raczej jej geometrycznego modelu) pobocznicę walca, wykonuje rzutowanie i rozwija walec w płaszczyznę. W rzeczywistości dokonuje się 3 kolejnych odwzorowań, ale nie kjest to istotne dla rozumnego używania map i GPS.

Tak wiec odwzorowanie charakteryzuje się:

• szerokością strefy i jest to na ogół 6^o długości geograficznej, a tylko na najdokładniejszych mapach (skala 1:5000) - 3^o,

• wybranym południkiem (L - długością geograficzną), typowe południki to E003^o, E009^o, E015^o, E021^o... stopni długości wschodniej (E) – dotyczy wycinka powierzchni ziemi szerokiego na 6^o długości geograficznej (po 3^o w obie strony)  - oraz

• przyjętym układem współrzędnych prostokątnych, które określa się przy pomocy False Easting ( FE ) – najczęściej 500 000 m, gdyż strefa wokół południka to mniej niż 330 km w obie strony. Unika się ujemnych wartości tej współrzędnej, a na głównym południku współrzędna wynosi właśnie 500 000. False Northing ( FN ) to najczęściej 0, wtedy współrzędna równa się – w pewnym sensie - odległości od równika w metrach

• m - współczynnikiem skali.

Odwzorowanie quasi-stereograficzne (wiernokątne) Roussilhe'a (QSR) stosowane w przedwojennym układzie WIG (opracowane przez L. Grabowskiego w latach 30), w układzie 1965 w strefach 1,2,3 i 4 (strefa 5 – Śląsk jest wariantem UTM) i w układzie GUGiK-80 polega na przyłożeniu w ustalonym punkcie (punkt główny) ziemi płaszczyzny stycznej do powierzchni ziemi (a raczej do jej geometrycznego modelu) w tym właśnie punkcie. Geodeci dokonują rzutowania określonego obszaru powierzchni ziemi (a ściślej jej geometrycznego modelu - elipsoidy) położonego wokół tego punktu na tą płaszczyznę. Jednoznaczne zdefiniowanie tego odwzorowania wymaga wskazania nie tylko południka, na którym leży punkt główny, a więc:

• jego L - długości ( E ), ale także  B - szerokości ( N ) geograficznej oraz

• odpowiadających im współrzędnych prostokątnych (w metrach) - przesunięcie poziome (False Easting, FE) i przesunięcie pionowe (False Northing, FN), a także

• m - współczynnika skali.

Współczynnik skali w obu przypadkach ma podobny sens. Każde odwzorowanie wnosi pewne zniekształcenia, gdyż nie ma idealnego odwzorowania kuli czy elipsoidy na powierzchnię płaską. Odwzorowania dokonuje się dla pewnej strefy (mapa, grupa map) i celem jest najmniejszy średni błąd w tej strefie. Można go zmniejszyć prowadząc pobocznicę walca (UTM) lub płaszczyznę (QSR) nieco poniżej powierzchni ziemi w zadanym punkcie lub południku. Dzięki temu średnia odległość powierzchni na którą rzutujemy od powierzchni zmniejsza się. Ale wtedy na południku lub w punkcie stycznym odległości są nieco mniejsze niż na powierzchni Ziemi. Stąd współczynnik skali to albo 1.0 (gdy zrezygnowano z takiej korekty) albo liczba w rodzaju  0.999 .... 

Zwięzłe omówienie obu tych układów i odwzorowań oraz metod matematycznych służących ich przeliczaniu są omówione w artykule L.J. Jaworskiego: Państwowy Układ Współrzędnych płaskich 1965. Geodeta Nr 4 z kwietnia 2000 r.  Sa tam miedzy innymi wzory umożliwiające wyliczanie współrzędnych prostokątnych x oraz y w układzie QSR z x oraz y w układzie UTM i odwrotnie.

Na mapach wydawanych w Polsce stosowane są różne układy. Parametry dla nich podane w Wytycznych GUGiK G-1.10  można wprost stosować w GPS (pominięto układy ze strefami 3º dla map podstawowych o skali 1:5000) :

• jednostrefowy układ 1992, elipsoida GRS'80, UTM, południk środkowy - Długość geograficzna E019^o; skala = 0.9993;  FE = + 500 000; FN = - 5 300 000  (str. 29),

• dwustrefowy - (w Polsce, ściślej trzystrefowy, gdyż dla skrawka terytorium na wschód od południka 24 stosowana jest strefa 5) układ 1942, elipsoida Krasowskiego,  UTM, Długość geograficzna E015^o dla strefy 3, E021^o dla strefy 4 i E027^o dla strefy 5, skala = 1.0; Przesuniecie poziome (FE) = 3 500 000, 4 500 000 lub 5 500 000 (pierwsza cyfra oznacza numer strefy); Przesuniecie pionowe (FN) = 0 (str. 30),

• strefa 5 układu 1965, elipsoida Krasowskiego, UTM, Długość geograficzna E018^o57'30"; skala = 0.999983; Przesuniecie poziome (FE) = + 237 000.0; Przesuniecie pionowe (FN) = - 4 700 000.0 (str. 58),

W przypadku zastosowania odwzorowania QSR podane są współrzędne punktu głównego - geograficzne oraz prostokątne i współczynnik skali:

• strefy 1 - 4 układu układu 1965 (tabela na str. 58), patrz tablica kalkulatora,

• jednostrefowy układ GUGiK-80 (tabela na str. 59), patrz tablica kalkulatora.

Parametry dla układu WIG (odwzorowanie QSR) podane w tablicy kalkulatora, są dostępne w literaturze, miedzy innymi na witrynie Jacka Dzierżawskiego 

http://strony.wp.pl/wp/uklady_wspolrzednych/index.html (UMK Toruń).

Kłopot polega na tym, że turystyczne odbiorniki GPS umożliwiają ustawienie wyłącznie długości geograficznej, przesunięcia poziomego i pionowego (FE i FN) oraz współczynnika skali, co pozwala na wprowadzenie większości układów współrzędnych, ale nie 1965. Odbiornik jest zaprogramowany do wyliczania wyłącznie współrzędnych UTM o rozmaitych parametrach.

Istotą problemu jest więc znalezienie takich parametrów "zastępczego" odwzorowania UTM, dzięki którym otrzymany wynik różniłby się jak najmniej od  otrzymanego w rezultacie odwzorowań stosowanych w układzie 1965.

Poniższe prace wykonane zostały przy użyciu odbiornika eTrexVista (ale myślę że w innych będzie podobnie) oraz programu TransPol (GUGiK) załączonego do Wytycznych G-1.10.

Sposób postępowania dla układu 1965 i GUGiK-80

1. W GPS ustawiamy Układ odniesienia (Dane Mapy) (Główne Menu / Ustawienie / Jednostki / Dane Mapy ) na User (użytkownika), w sposób właściwy dla układu Pułkowo 1942.

2. Zaznaczamy (Główne Menu / Zaznacz) w GPS nowy punkt (waypoint) np 100, w miejscu w którym geodeci przyjęli punkt styczny dla odwzorowania 1965, strefa 1. Dane tego punktu: N i E w stopniach, minutach i sek w układzie Pułkowo 1942 oraz współrzędne XY układu 1965 oraz punktów głównych pozostałych stref można znaleźć w:

• Wytycznych technicznych GUGiK nr G-1.10, wydanie drugie, str. 58, a także

• na stronie http://gps.put.mielec.pl/UserDatumGrid.htm

• na stronie http://joe.mehaffey.com/warsaw.txt

Punktowi 100 (Tak nazwałem punkt główny strefy 1) nadajemy więc zgodnie z instrukcją współrzędne (Pułkowo 42):

• N 50^o37’30.0”

• E021^o05’00.0”

3. W GPS ustawiamy (Główne Menu / Ustawienie / Jednostki) Dane mapy bez zmian (upewniamy się czy cały czas jest User – dane jak w pkt. 2), a następnie jako Format Pozycji wybieramy Siatka UTM użytk. (User Grid). W rezultacie otrzymujemy zapytanie o parametry na które odpowiadamy następująco:

Potwierdzamy Zapisz. Zanim wyjdziemy z menu Jednostki, upewniamy się że w Dane Mapy jest User (GPS lubi automatycznie wracać do WGS 84, a my potrzebujemy Pułkowo 42, które wprowadziliśmy jako User). Liczby zostają zapamiętane przez odbiornik GPS.

4. Odnajdujemy nasz punkt 100 ( Główne menu / Znajdź / Punkty / Nazwa / 100 ) i odczytujemy jego współrzędne w naszym – wciąż prowizorycznym układzie UTM. Jako Format Pozycji wprowadziliśmy ten właśnie układ i jeżeli wszystko jest OK, to zamiast E i N (stopni) pojawiają się współrzędne Y_GPS i X_GPS wraz z oznaczeniem USR.

Jest to najpierw Y (na mapach – inaczej niż nas uczono na matematyce - to jest oś „pozioma”, współrzędna narasta na wschód, ku prawej krawędzi mapy):

Y_GPS = 4 637 000 i to dobrze, bo taka jest współrzędna Y_Pkt.Gł. tego punktu według definicji odwzorowania.

Natomiast kolejna współrzędna X ( na mapach jest to oś „pionowa”, narastająca na północ, ku górnej krawędzi mapy):

X_GPS = 5 609 346  różni się od definicji (instrukcja) w myśl której punkt styczny powinien mieć

X_Pkt.Gł. = 5 467 000

5. Obliczamy FN w taki sposób, aby po jego wprowadzeniu, współrzędna X była zgodna z definicją:

FN =  X_Pkt.Gł. -   X_GPS   = 5 467 000 – 5 609 346 = -142 346

6. Teraz możemy wprowadzić kompletne dane siatki użytkownika do odbiornika GPS. Sprawdzamy Dane mapy (Główne Menu / Ustawienie / Jednostki ), upewniamy się czy cały czas jest User, a następnie jako Format Pozycji wybieramy Siatka UTM użytk. W rezultacie otrzymujemy zapytanie o parametry, na które odpowiadamy następująco (pierwszych trzech nie musimy na nowo wprowadzać):

Potwierdzamy Zapisz, upewniamy się że pozostało w Danych Mapy :  User, a w Format pozycji - Siatka UTM użytk.

Jeżeli zamierzamy posługiwać się w przyszłości innymi siatkami użytkownika  z tymi lub innymi danymi mapy (Inne strefy 1965, układ 1992 w WGS 84), to stosowne liczby trzeba zapisać w ściągawce. Pamięć odbiornika obejmuje tylko jeden komplet Dane mapy i jeden komplet danych Siatka UTM użytk.

7.  Odnajdujemy ponownie nasz punkt 100 ( Główne menu / Znajdź / Punkty/ Nazwa / 100) i odczytujemy jego współrzędne w zdefiniowanym przez nas „zastępczym” układzie UTM – takim, który będziemy używać stosując GPS z mapami GUGiK układu 1965 strefa 1. Jeżeli wszystko jest OK to współrzędne USR punktu 100 (głównego punktu odwzorowania 1965, strefa 1) są następujące:

• Y = 4 637 000

• X = 5 467 000

Takie współrzędne punktu głównego dla układu 1965/1 są zgodne z definicją. Tak więc w punkcie głównym nasze odwzorowanie UTM użytkownika oddaje dokładne współrzędne 1965/1. Oczywiście gdy oddalimy się od tego punktu powstanie błąd, gdyż metody rzutowania w UTM i w odwzorowaniu stosowanym w układzie 1965/1 różnią się.

Ocena błędu

8. Praktyczne stosowanie takiego „zastępczego” układu UTM w terenie z mapami 1965/1 w okolicach Krakowa oraz w Bieszczadach dało dobre rezultaty. Błąd nie przekraczał 1 mm na mapie 1:25 000, czyli 25 m w terenie, co dla turystyki pieszej wystarcza i niewiele różni się od błędu GPS i błędu mapy.

9. Następująca weryfikacja obliczeniowa potwierdza te obserwacje.

Do odbiornika GPS wprowadzono punkty co 1 stopień długości i co 30" szerokości geograficznej w obrębie strefy 1, a ponadto na wylotach tych południków i równoleżników w pobliżu granic strefy.  Taki obszar nie wykracza poza granicę strefy i poza granice Polski, podobnie jak te właśnie mapy, które które poza granicami Polski są białą plamą.

Wprowadzenia dokonano przy ustawieniu odbiornika. Dane Mapy: User, Pułkowo 42 jak w pkt. 1, Format Pozycji: hddºmm'ss.s". Następnie dla każdego z tych punktów obliczono współrzędne YX w układzie 1965/1 przy pomocy programu TransPol dostarczanego wraz z instrukcją GUGiK G-1.10. (Po instalacji z CD konieczne jest sprowadzenie ze strony GUGiK poprawki do programu. Patrz:  http://www.gugik.gov.pl/str_glowna.htm). Program zapewnia wyższą dokładność obliczeń, ale w odbiorniku GPS współrzędne prostokątne uwidaczniane są z dokładnością do 1 m i tak jest w arkuszu obliczeniowym.

Potem pozostawiając Dane Mapy: User odbiornik GPS został przestawiony na Format Pozycji : Siatka UTM użytk. i dla każdego punktu odczytano YX obliczone przez GPS według naszego „zastępczego” układu UTM.

Lokalizacja punktów, ich numery (kolor czarny) i wielkość sumarycznego błędu w metrach (kolor czerwony) są na stronie Mapa_1965, a wyniki obliczeń  w tablicy Błąd GPS_1965. Łatwo zauważyć że błąd rośnie przy oddalaniu się od punktu głównego i to szybciej niż z kwadratem odległości. Największy błąd pojawił się w północno zachodnim i północno wschodnim narożniku strefy, odległych o więcej niż 230 km od punktu głównego. Na południowo wschodnim krańcu (w pobliżu przełęczy Użockiej) było to 24 m i w pozostałych punktach błąd nie przekroczył 25 m, a więc 1 mm na mapie 1:25 000.

W strefie 2 dla punktu E021^o00'00" N52^o10'00" (Warszawa-Służewiec, PnZ narożnik mapy GUGiK 1:10000, N-34-139-C-a-1) błąd oglądany na mapie jest poniżej 0,5 mm czyli  5 m w terenie.

10. Problem współrzędnych układu oraz adaptacji odbiornika GPS do używania z mapami 1965 jest też rozwiązany na witrynie prywatnej P. Adama Puterli z Mielca: http://gps.put.mielec.pl, konkretnie na stronie http://gps.put.mielec.pl/UserDatumGrid.htm. Autor przeprowadził swoje obliczenia niezależnie od prezentowanych powyżej, stosując nieco inne parametry dostosowawcze  układu Pułkowo 1942 (S-42). Otrzymane rezultaty nie różnią się więcej niż o 1 m.

11. We wzmiankowanym wyżej artykule L.J. Jaworskiego podane są wzory na obliczanie współrzędnych w obu układach, przy czym współrzędne układu quasi-stereograficznego obliczane są ze współrzędnych Gaussa-Krügera. Z ich pomocą można stosunkowo łatwo obliczyć różnice pomiędzy x i y w obu układach dla konkretnego punktu, a następnie skorygować FE i FN, w taki sposób, aby w tym właśnie punkcie różnica wynosiła 0 (a nie w punkcie głównym). Obliczenia te realizuje kalkulator. Wyniki dla wielu punktów wskazują, że w promieniu około 230 km od punktu głównego różnica nie przekracza 25 m. Po skorygowaniu FE i FN przy pomocy kalkulatora różnica w strefie 1965/1 nie przekraczała 1 m.

Obliczenia dla pozostałych stref i układów.

Postępowanie opisane w punktach 2 – 7 zostało powtórzone dla stref 2,3 i 4 (punkty 200, 300 i 400) oraz dla układu GUGiK-80 (punkt 800). (A. Puterla wykonał te obliczenia dla układu WIG, które powtórzyłem z identycznym wynikiem - rezultaty są w ogólnej tablicy Mapy Polskie i GPS). Dla strefy 5 ustawienia GPS wynikają wprost z definicji, gdyż tam stosowane jest odwzorowanie UTM. 

Natomiast nie przeprowadzałem ani praktycznych pomiarów (pkt. 8), ani obszerniejszych obliczeń (pkt. 9) dla WIG, dla stref 1965/2, 1965/3 i 1965/4 oraz GUGiK-80. Można jednak stwierdzić, że odległość  najdalszego punktu do punktu głównego w każdej ze stref układu 1965 jest mniejsza niż w strefie 1965/1, a więc błąd nie powinien przekraczać 25 m. Uwaga z pkt. 10 dotyczy wszystkich stref układu 1965.

W przypadku GUGiK-80 przeprowadzone zostały obliczenia dla punktów 801 (k. Świnoujścia) i 802 (Przełęcz Użocka) - najbardziej oddalonych od punktu głównego. Błąd wynosi 118m i 173m, a więc na mapach 1:100 000 (a dla takich stosowano ten układ) do 2 mm.  Dla układu WIG, który obejmuje obszar Polski sprzed II Wojny, największe różnice współrzędnych punktu i punktu głównego mogą wynosić do 450 km, a wtedy można się spodziewać różnicy pomiędzy UTM i QSR około 375m.  

Chętnie zapoznam się z innymi doświadczeniami lub obliczeniami.